.RU
Карта сайта

Издательский дон - 7

Y=p


р = mах


k(cp)


Рисунок

7. Функция Y = f(k, r = const)
Как видим, максимальному значению вероятности соответствует опреде­ленное среднее число

k(cp).

Его называют наиболее вероятным числом «успехов».
Для условия р = q = 0,5 наиболее вероятное значение числа «успехов»

k(cp)

= r/2 (при четном значении г).
Каждое число «успехов» при биномиальных испытаниях име­ет свою вероятность появления, зависящую от соотношения значений р и q. При р = q = 0,5 наиболее вероятное значение

k(cp) = r/2.


Этот результат вполне соответствует обыденным представлениям.
Можно рассчитать, что для испытаний, где r = 8 бросков монеты эта ве­роятностная функция будет принимать следующие значения:

^ Р( «успехов» = О/r = 8) = 1 : 256;


Р(1/8) = 8/256;


Р(2/8) = 28 / 256;

Р(3/8) = 56 / 256;


Р(4/8) = 70 / 256;

Р(5/8)

=

56 / 256;


Р(6/8) = 28 / 256;


Р(7/8) = 8 / 256;
Р(8/8) = 1 / 256.
Как видим, наиболее вероятное число «успехов» равно 4. А конкретное зна­чение вероятности этого события: 70 / 256 = 0,27 (см. рисунок).
5 - 2791


66

Часть 2. Теоретические основы анализа

0,3

Л. IV






0,2

-



Г ШЛА.


ОД














k

0 ]

2 3

1 1 5 678

Рисунок 8.

Функция Р = C(k/ 8) / 28

Если r = 2k (четное число испытаний), то

k(cp)

= r/2. Так, если r = 100, наиболее вероятное число «успехов» — 50.

Математическое ожидание.

Предварительно напомним, что выше были рас­смотрены такие понятия, как:
• вероятности «успеха» (р) в каждом отдельном испытании;
• наиболее вероятное число «успехов»

k(cp);


• вероятность определенного числа «успехов»

P(k/r/p).


Математическое ожидание числа «успехов»

E(k)

является еще одним важ­ным дополнительным понятием. Это среднее значение числа «успехов», которое, согласно математическим вычислениям, ожидается по результа­там серии испытаний*.
Математическое ожидание случайной величины — это сино­ним ее среднего значения, которое ожидается по результатам испытаний.
Подчеркнем, что в общем случае наиболее вероятное число «успехов»

k(cp),

которое определяется по максимальному значению вероятности определен­ного числа успехов

P(k/r/p),

отличается от математического ожидания чис­ла успехов

E(k),

хотя иногда может и совпадать.
*В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. С. 226.


67



Закономерности случайных событий

Так, переменная величина числа «успехов» k может принимать значения от 1 до r. Каждому из них соответствует своя вероятность:

Р(0), Р(1) ... Р(r).

Тогда среднее значение числа «успехов», т.е. математическое ожидание по результатам r испытаний:

E(k) = Р(0) х 0 + Р(1) х 1 + Р(2) х 2 + Р(3) х 3 + ... + Р(r) х r.


Как видим, каждое из возможных значений числа «успехов» оказывается, так сказать, «взвешенным» по вероятности своего возникновения.
Для интересующего нас биномиального распределения эта формула при­нимает вид:

E(k) = r

x

p.


При равновероятности исходов каждого испытания

(р = q = 0,5): E(k) = r

x

O,5 = r / 2.


В данном примере математическое ожидание случайной величины k равно наиболее вероятному числу «успехов»

k(cp).

Но при неравенстве р и q та­кого совпадения может и не быть.
Предположим, что некая система генерирует сигнал, который характе­ризуется таким соотношением: р = 0,6 и q = 1- р = 0,4. Пусть испытание заключается в двух применениях сигнала. Читатель может рассчитать само­стоятельно, что наиболее вероятное значение числа «успехов»

k(cp)

=

1,

при вероятности этого события

Р(1) = 0,48.

А математическое ожидание резуль­тата

E(k)

=

1,2.

Это означает, что, скажем, при 10 испытаниях (по два при­менения сигнала в каждом), т.е. всего 20 попыток, следует ожидать 12 «ус­пехов». При 100 «двойных» испытаниях — 120 «успехов» и т.д.

^ Закон больших чисел.

Его смысл прост: чем больше число испытаний, тем ближе число достигнутых «успехов» будет к его наиболее вероятному ре­зультату, выражением которого является математическое ожидание.
Для вышеприведенного примера (р = 0,6 и q = 0,4) чем больше испыта­ний сигнала, тем ближе среднее значение «успехов» к математически ожи­даемой цифре

1,2.


Научная формулировка закона звучит более мудрено, но его смысл от этого не меняется. Для интересующей нас модели это звучит так:
• если проводить N серий при г испытаниях в каждой серии, то среднее по сериям число достигаемых «успехов» k будет таково, что величина

{(k/r)

-

р}

устремится к 0, как только N станет уве­личиваться до бесконечности.
Иногда говорят иначе:
• с возрастанием N до бесконечности вероятность того, что доля «успехов» k/r отклоняется от р на сколь угодно малую величи­ну, стремится к нулю.


68



^ Часть 2. Теоретические основы анализа

Согласно закону больших чисел, по мере возрастания числа испытаний уменьшается вероятность отклонений достигаемых результатов от их математического ожидания.
Как видим, закон говорит об ожидаемом конечном результате вполне определенно, т.е. звучит почти с детерминистической фатальностью. Ведь вероятность отклонений, равная нулю, — это достаточно определенная не­возможность такого события.
Здесь мы подошли к моменту, имеющему ключевое значение для всего последующего рассмотрения, поскольку складывается впечатление, что за­кон больших чисел, как говорится, ставит «жирный крест» на надеждах иметь число «успехов», превышающее математическое ожидание.
Это и так, и не так.
Разумеется, этот закон незыблемо справедлив, и в бесконечном ряду ис­пытаний результаты будут определенно равны математическому ожиданию.
Однако обратим внимание, что неотвратимость действия этого закона вступает в силу только по мере возрастания N.
К счастью, нерушимый закон больших чисел ничего не говорит о том, каково будет число «успехов» в каждой отдельной серии испытаний г, чис­ло которых ограничено. Здесь никакого долженствования, кроме вероят­ных оценок, еще не наступает.
На самом деле, если, например, зафиксировать продолжительность ис­пытаний в каждой серии на уровне г, то значение числа «успехов» k от се­рии к серии будет случайным образом изменяться.
Закон больших чисел ничего не говорит о том, каким будет ре­зультат в каждой ограниченной серии испытаний. Долженство­вания здесь еще нет, только вероятность.

^ Дисперсия и стандартное отклонение.

Возможный в ограниченных сериях испытаний разброс текущих результатов вокруг ожидаемого значения ха­рактеризуется с помощью таких понятий, как дисперсия и стандартное от­клонение.
Для их понимания необходимо ввести другое важное определение: «квад­ратичное отклонение» случайной величины. Это квадрат разницы между средним значением

k(cp)

и тем, что наблюдается в конкретном экспери­менте

k,

т.е.

[(k(cp) - k]

2

.


Квадратичное отклонение - это квадрат разницы между ожи­данием и реальным результатом.
Так, если

k(cp)

= 5, а в ходе какой-то серии испытаний было получено толь­ко 3 «успеха», то квадратичное отклонение будет равно:

(5-3)2 = 2х2=4




69



Закономерности случайных событий

В других сериях квадратичные отклонения могут быть иными. Тогда можно рассчитать «среднее квадратичное отклонение»: просуммировать все квадратичные отклонения и разделить на число проведенных серий испытаний.
Это среднее квадратичное отклонение случайной величины обозначает­ся как s2 и называется «дисперсией».
Дисперсия — это среднее квадратичное отклонение случайной величины от математического ожидания.
Если из дисперсии извлечь квадратный корень, то получим «стандартное отклонение» s.
Стандартное отклонение - это корень квадратный, извлечен­ный из дисперсии.
Теперь можно представить процедуру вычисления эмпирического значе­ния дисперсии и стандартного отклонения.

k(cp)=



Пусть, например, было проведено N серий испытаний с монетой, кото­рые дали соответственно

kO, kl, k2,

k3 ... kr «успехов» в каждой. Тогда сред­нее число

k(cp)

по всем сериям:


k1, k2,k3...kr)/N.





Для вычисления дисперсии, или среднего квадратичного отклонения, s2 сум­ма квадратов отклонений от этого среднего складываются, и результат де­лится на N:
s2

= {(k(cp) - kO)

2

+ (k(cp) – k1)

2 +



+(k(cp) - k2)2


+…+(k(cp) - kr)2} / N.


Стандартное отклонение, которое получается по экспериментальным дан­ным, можно сравнивать с некими теоретическими значениями и на этом основании делать вывод, скажем, о соответствии монеты, примененной в эксперименте, «идеальной».
Для биномиального распределения формула принимает вид:

s = (г

х

р

х

q)

0>5

. При р = q = 0,5 («идеальная» монета):

s = (r х 0,5 х 0,5)°,5, или s2 = r / 4.


Для этой модели при серии, скажем, r = 100 испытаний стандартное откло­нение s =

100/4

=

25.

Поскольку наиболее вероятное число «успехов»

k(cp)

=

50,

то можно ожидать, что колебание успешных испытаний от се­рии к серии будет происходить примерно в пределах между 25 и 75.


70

Часть 2. Теоретические основы анализа

В этой связи возникает важный вопрос о том, насколько и как часто мо­гут отклоняться экспериментальные результаты от тех, которые являются наиболее вероятными?
Для ответа на этот вопрос необходимо знать тот закономерный «про­филь», каким распределяются случайные результаты в ходе испытаний при определенных исходных условиях.
Нормальное распределение. Это один из возможных «профилей» распре­деления случайной величины. Он характерен именно для биномиальной модели.
Для простоты изложения ограничимся только определениями.
Во-первых, функция f(x) = 1: (2)0,5х

е

0,5х

х

2) по определению назы­вается плотностью вероятности нормального распределения, где постоян­ные  = 3,14 и е = 2,71.
Эта функция показывает, каким образом изменяется вероятность собы­тия по мере его удаления от математического ожидания.
Нормальной функцией распределения, или распределением Гаусса, яв­ляется интеграл этой функции, определенный для значений х от «минус бесконечности» до «х» (это означает — все возможные варианты удаления события от математического ожидания):

F(x) = f(x).


Можно убедиться, что «нормальным» в указанном математическом смысле является такой разброс результатов, при котором:
• 99,99% всех данных попадают в пределы 4 стандартных отклонений;
• 99,86% — в пределы трех стандартных отклонений;
• 97,72% — двух стандартных отклонений;
• 84,13% — одного стандартного отклонения.
Данный эталон (или стандарт) «нормальности» можно использовать при анализе экспериментально полученного распределения.
Нормальное распределение случайной величины характеризу­ется совершенно определенными «нормами» разбросов исхо­дов результатов испытаний по отношению к математическому ожиданию.
Для нас важно то, что именно таким распределением отличаются пуассо-новские случайные процессы.
В практическом плане интерес представляет оценка вероятности следу­ющего события:
• число «успехов» в ходе биномиальных испытаний лежит в ка­ких-то определенно заданных пределах.


71



^ Закономерности случайных событий

Если такие пределы выражать в числе стандартных отклонений, то соответ­ствующие оценки можно получить, воспользовавшись теоремой Чебышева.

^ Теорема (неравенство) Чебышева.

В сравнении с распределением Гаусса эта теорема дает очень грубое приближение. Но зато она удобна в примене­нии, поскольку позволяет сделать это быстро, не прибегая к обращению к сложным таблицам.
Согласно данной теореме, вероятность отклонения любой случайной величины k от среднего значения

k(cp)

в ту или иную сторону на расстоя­нии не более чем n раз по s (где n — положительное число) не меньше:
1-1/(n2)
Диапазон отклонения значений k можно определить в виде неравенства:

(k(cp) - n x s} < k < {k(cp) + n x s}.


Если задать

n

, то получим следующие оценки:
• для

n

= 3 (три стандартных отклонения в каждую сторону) с уве­ренностью не менее чем 89% следует ожидать, что все значения случайной величины будут содержаться в пределах

(k(cp) - 3s) < k < (k(cp) + 3s);


• для n = 2 — с уверенностью не менее 75%, все значения случай­ной величины будут содержаться в пределах

(k(cp) - 2s) < k < (k(cp) + 2s);


• для n = 1 — нет никакой уверенности, что все значения случай­ной величины будут содержаться в пределах

(k(cp) - s) < k < (k(cp) + s).


Это позволяет соответствующим образом оценить получаемые эксперимен­тальные результаты и увидеть, насколько они укладываются в схему «иде­альной» монеты.
В нормальном распределении («чистая» случайность) чем больше чис­ло стандартных отклонений, тем меньше вероятность того, что результаты экспериментальных испытаний выйдут за установленные пределы.
При «чисто» случайных испытаниях чем больше взятое число стандартных отклонений, тем меньше вероятность выхода за эти пределы.
Вместе с тем, следует понимать вероятностно-статистический характер этой закономерности. Она описывает не какую-то конкретную серию испытаний, а лишь указывает общую тенденцию, которая должна проявляться по ито­гам ряда экспериментов, повторяемых в одинаковых условиях.
2014-07-19 18:44
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.