.RU
Карта сайта

Геометрическая интерпретация комплексного числа - Решение общих систем линейных алгебраических уравнений ax=B


^ Геометрическая интерпретация комплексного числа


Всякое комплексное число z = (xy) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется 

комплексной плоскостью

, при этом ось Ox называется 

действительной

, аOy - 

мнимой

.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется 

модулем

 комплексного числа z и обозначается символом |z|.
Число

называем 

аргументом

 комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем  называем 

главным значением

 аргумента.
Числа r и θ называют 

полярными координатами

 комплексного числа z. В этом случае
z = (xy) = (r cos θr sin θ) = r(cos θ + i sin θ)
называется 

тригонометрической формой

 комплексного числа.
Если z1 = (r1 cos θ1, r1 sin θ1), z2 = (r2 cos θ2, r2 sin θ2), то
z1z2 = (r1r2 cos(θ1 + θ2), r1r2 sin(θ1 + θ2)),

Для n-й степени числа z = (r cos θr sin θ) формула приобретает вид zn = (rn cos rn sin ).
При r = 1 соотношение приобретает вид zn = (cos , sin ) и называется 

формулой Муавра

.
Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле
     (1)

Вопрос 36

Извлечение корней из комплексных чисел, логарифмическая
и степенная функции
Корнем 

n

-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, 

n

-я степень которого равна подкоренному числу.
  Таким образом, равенство:

равносильно равенству
n(cos n + i sin n) = r (cos  + i sin )
  Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.
n = r,     n =  + 2k,
откуда

где  есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:


(16)



т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
  В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2, ..., (n-1)

(17)



  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k1 и k = k2тогда, когда аргументы  и  отличаются не кратным 2, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2.
  Но разность (k1 - k2) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность


не может быть кратна 2, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.
  Пусть теперь k2 - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:
k2 = qn + k1

где q - целое число и k1 - любое число из ряда (17), а потому
,
т.е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
  Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю. 
Учитывая периодичность функции  , комплексное число  z  можно представить в виде



 

,

(1)

 

где  k  - произвольное целое число. 
      Прологарифмируем уравнение (1):



 


(2)

 

где .
      Из формулы (2) следует, что логарифмическая функция комплексного аргумента является многозначной функцией. 
      При  k  = 0  равенство (2) принимает вид



 


(4)

 

и называется 

главным значением

 логарифма. 
      Заметим, что аргументы вещественных чисел  z = x  равны нулю и, следовательно,

 


Значение целой положительной степени комплексного аргумента, значение функции f(z) = z n , проще всего вычислять в тригнометрической форме.
Если z = x + iy = r  (cos  + isin ), то для любого целого положительного числа n имеет место формула:
w = f(z) = z n =  r  n (cos n  + isin n ).
Если w = f (z) =  f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то 
u(x, y) = r  ncos n , u(x, y) = r  nsin n.
 
ПРИМЕР 1. Вычисление f(z) = zn.
 
Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число 
  такое, что wn = z.
Для любого комплексного числа z существует n комплексных чисел w таких, что wn = z.
Значение корня, т.е. значение функции
проще всего вычислять в тригнометрической форме.
Если z = x + iy = r (cos + isin), то для любого целого положительного числа n имеет место формула: 
Т.е. функция 
 
является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечает n различных значений корня.
Если w = f(z) =  f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то 
ПРИМЕР 2. Вычисление корня n-й степени из комплексного числа.
 
Если z = x + iy = r  (cos + isin ), то значения функции f(z) = exp(z) вычисляются по формуле 
f(z) = ez = ex+iy = e xe iy = ex (cosy + isiny). 
Если w = f(z) =  f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то
u(x,y) = ex cosy , v(x,y) = ex siny.
 
ПРИМЕР 3. Вычисление значения функции exp(z).

Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются формулами:

ПРИМЕР 4. Вычисление значений тригонометрических функций комплексного переменного.
 
Гиперболические функции комплексного переменного определяются совершенно так же, как функции в действительной области:

ПРИМЕР 5. Вычисление значений гиперболических функций комплексного переменного.
 
Логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что
exp(w) = z.
Значения логарифмической функции f(z) = Ln(z) вычисляются по формуле
Ln(z) = ln(|z|) + iArg z = ln(|z|) + iarg z + 2kp i,  k = 0,1,2,...
Величину ln(|z|) + iarg z называют главным значением логарифма.
Функция f(z) = Ln(z) является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечаетбесконечное множество различных значений логарифма.
 
ПРИМЕР 6. Вычисление значений логарифма комплексного числа.
 
Показательная (f(z) = az) и степенная (f(z) = za) функции комплексного переменного определяются с помощью логарифма -    для любых комплексных чисел a и z справедливо:
f(z) = az = ezLna;
f(z) = za= eaLnz.
ПРИМЕР 7. Вычисление значений показательной и степенной функций комплексного переменного.
 
Значения обратных тригонометрических функций комплексного переменного вычисляются по формулам:
.

^ Вопрос 37 Понятие линейного оператора


Оператором называется правило, по которому каждому элементу 

x

 некоторого непустого множества 

ставится в соответствие единственный элемент 

y

 некоторого непустого множества 

Y

. Говорят, что оператор действует из 

в 

Y

.
Действие оператора обозначают 

y

 = 

A

(

x

), 

y

 — образ 

x

x

 — прообраз 

y

.
Если каждый элемнт 

y

 из 

Y

 имеет единственный прообраз 

x

 из 

X

y

= 

A

(

x

), оператор называют взаимно однозначным отображением 

в

 Y

 или преобразованием 

X

— область определения оператора.
Пусть 

и

 Y

 два линейные пространства. Оператор 

A

, действующий из 

в

 Y

, называется линейным оператором, если для любых двух элементов 

и 

v

 из 

X

 и любого числа α справедливо:

A

(

v

) = 

A

(

) + 

A

(

v

) ,  

A

(α·

u

) = α· 

A

(

u

).
Множество векторов 

y

 линейного пространства 

Y,

 для каждого из которых существует такой вектор

 x 

из линейного пространства

 

X, что 

y

 = 

A

(

x

) называется образом оператора 

A

:

Im

(

A

) =  

y

 = 

A

(

x

), 

x

∈ 

X

Im

(

A

) ⊆ 

Y

.
Образ линейного оператора — линейное подпространство пространства 

Y

. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора

rank A = dim (Im A

); 

rank A

 = 

rang A

 = 

rg A

 = 

Rg

 

A

.
Множество векторов

 x

 линейного пространства

 

X

,

 которые оператор 

A

 отображает в нуль пространства 

Y

, называется ядром оператора 

A

:

Ker

(

A

) =  

A

(

x

) = 

0

x

 ∈ 

X

0

 ∈

Y

,

Ker

(

A

) ⊆ 

X

.
Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства

 

X

. Размерность ядра линейного оператора называетсядефектом оператора:

def

 

A

 = 

dim(KerA)

 .

Вопрос 38 Матрица линейного оператора. Невырожденное линейное преобразование. Запись матрицы линейного оператора


в другом базисе


Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому  каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y e Y , называется оператором, действующим в линейных пространствах X , Y. Результат  действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или  y = A(x).  Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называют образом элемента x; элемент x прообразом элемента y.
Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).
Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения  оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если y = A x  , то x e D(A), y e Im(A) .
Оператор A, действующий в линейных пространствах X , Y называется линейным оператором, если
A(u+v)=A(u)+A(v) и A(au)=aA(u)  и  для любых u,v e X  и для любого числа a.
Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве X.
Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n  и пусть e1,  e2, ..., en - базис в X. Обозначим через A e1 = (a11,...,an1), ... , A en = (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1,  e2, ..., en .
Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно  каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.
При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e1, ... , en}  к базису e' = {e'1, ... , e'n} . Связь между матрицей Ae  оператора A в базисе e  и матрицей Ae'  этого оператора в базисе e' задается формулой 

Здесь   -  матрица перехода от базиса e к базису  e' и обратная к ней.

Пример

 

1

 

::

    Матрица оператора в новом базисе.
 
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X. Доказано, что образ Im(A) линейного оператора  линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается  Rg(A) = r = dim( Im(A) ).
^ Ядром линейного оператора называется множество элементов из X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A) :  Ker(A) = {x e X : A(X) =

0

 } . Ядро линейного оператора  линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается Def(A):   d = Def(A) = dim ( Ker(A) ) .
Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:
сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:
Def(A) + Rg(A) = n; 
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

^ Вопрос 39 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора


  

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

 
     Ненулевой вектор  называется собственным вектором линейного оператора , если  (для комплексного ), такое, что  Число  называется собственным числом (собственным значением) оператораf, соответствующим этому собственному вектору.
     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор  имеет координатный столбец X, то  или 
     Собственные числа  линейного оператора  - корни характеристического уравнения , где  - матрица оператора f,  - символ Кронекера.
     Для каждого собственного значения  соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения  или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где  - соответствующие собственные значения.

Вопрос 40

Определение ортонормированного собственного базиса
Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.
Если 

e

1, 

e

2, 

..., e

n

 

 ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x

 = x1

e

1

 + x2

e

2

 + ... + xn

e

n

 

— разложение вектора 

x

 по этому базису, то координаты x

i

 вектора 

в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x

i

 

=(x, e

i

), 

i = 1, 2, ..., n.
В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. 
Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса. 

^ Вопрос 41 Графики основных элементарных функций




^ Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)


Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0


Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а 0) или у - - х(а < 0).


Экспонента (показательная функция по основанию е) у = еx. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс.


Логарифмическая функция y = logax (a > 0)


у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π


у = а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний. Обозначения: а - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг).


Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на )


Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.


Гауссиана у = Аe-(ax2). Кривая "нормального" закона распределения ошибок, у которого
, ,
σ 2 - дисперсия ошибки. Симметрия относительно оси у.


у = secx - кривая "цепной линии", эту форму принимает абсолютно гибкая нить, подвешенная в параллельном поле тяжести. А полная функция периодична, и её асимптоты х = (2k -1), как у функции y = tgx.


Круг с центром в точке (xo, yo) радиуса r. (x-xo)2 + (y-yo)2 = r2


Эллипсс центром в точке (xo, yo). Большая полуось а, малая b, эксцинтриситет



^ Затухающее колебание y = Ae-ax•sin(ωx+φ)

Вопрос 42 Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие


Рациональной дробью называется функция

где— заданные коэффициенты, Рациональная дробь называется правильной, если m< n, неправильной, если
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Действительно, пусть— неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим  k < n, гдеи остаток— многочлены,
а— правильная рациональная дробь.
Пример:

Таким образом,— остаток.
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.