.RU

Вариация физических констант во времени и в пространстве и релятивистские поправки в атомах - старонка 19

С другой стороны, существуют методы, работающие с многочастичными эффектами точно, по крайней мере, для валентных электронов. Это хорошо известные метод наложения конфигураций (НК(CI)) и многоконфигурационный метод Хартри-Фока (МКХФ(MCHF)) (смотрите, например [19.1996ДФК]). Методы CI и MCHF широко использовались многими авторами (смотрите [20.1996ДФК]). Метод CI использовался для расчетов эффектов PNC в таких сложных атомах, как диспрозий [21.1996ДФК], иттербий [22.1996ДФК] и висмут [23.1996ДФК]. В принципе, точность CI ограничена только неполнотой набора используемых конфигураций. Для многоэлектронного атома количество возможных конфигураций на столько большое, что надо выбирать только малую часть из них. Это существенно ограничивает точность метода.
Важно отметить, что точность MBPT и CI ограничена в различных спектрах многочастичной задачи. MBPT не точная в описании взаимодействия между валентными электронами, в то время, как CI не может полностью учесть остовно- валентные и остовно- остовные корреляции. Поэтому естественно скомбинировать эти два метода, пытаясь достичь высокой точности для атомов с более чем одним валентным электроном.
-
В данной работе мы комбинируем эти два метода следующим образом. Все электроны атома разделяются на валентные элетроны и остовные электроны. МЧТВ (MBPT) используется для конструирования эффективного гамильтониана CI в модельном пространстве валентных электронов. Этот гамильтониан включает дополнительные члены к обячному методу CI, что учитывает остовно- остовные и остовно- валентные корреляции. Метод CI затем используется для нахождения уровней энергии атома и волновых функций.
В этой работе мы ограничиваемся расчетами уровней энергии Tl, Tl+, Tl2+, но этот метод можно так же распространить для расчетов амплитуд перехода, а так же величин ожиданий. Наша окончательная цель- выполнить расчеты несохраняющих четность амплитуды Е1 для тех атомов, для которых ожидаются точные PNC- измерения, то есть таллий, свинец и висмут. Короткий отчет этой работы был опубликован в [24.1996ДФК].
II. Метод:
А. Подпространства конфигураций и возмущений:
Разделим гильбертово пространство многоэлектронной задачи на два подпространства. Первое подпространство (P) соответствует приближению замороженного остова (Q) включает все остовные возбуждения и дополняет первое.
Естественно предположить, что проекции волновых функций более низких уровней энергии атома на подпространство Q будут малыми. Это позволяет нам учесть подпространство Q с помощью MBPT. С другой стороны, теория возмущений е эффективна в подпространстве P и поэтому здесь более предпочтителен метод НК.
Такая декомпозиция гильбертового пространства зависит от определения остова. Во-первых, нужно выбрать число электронов для включения в остов (Ncore).
-
Для сходимости MBPT важно, чтобы остовные и валентные электроны были разделены в пространстве и по энергиям. Во многих случаях этого можно добиться путем отнесения к остову всех подоболочек оболочки.
Во-вторых, необходимо специфицировать одночастичные волновые функции для электронов остова. Поскольку мы будем использовать MBPT, эти функции должны быть собственными функциями какого-то одночастичного гамильтониана:
(1.1996ДФК)
Выбор h0 обсужается в разделе III.1996ДФК. Мы можем использовать слеттеровские детерминанты |I> функций φi, как базисное множество многоэлектронного пространства. Легко определить к какому из двух подпространств приналежит каждый конкретный детерминант |I>. Если все нижние состояния Ncore заняты, то |I> принадлежит подпространству P, иначе- Q.
Таким образом, мы можем записать отображение на подпространство P как:
(2.1996ДФК)
и определить отображение Q из условия полноты
(3.1996ДФК)
------
В. Эффективный гамильтониан для задачи НК.
Подпространство P имеет бесконечную размерность. Таким образом, невозможно найти точное решение уравения Шредингера в этом пространстве. Однако, если количество валентных электронов достаточно мало (например, не превосходит 3 или 4), то можно найти очень хорошее приближение с помощью метода НК. В этом методе модель конечномерного пространства PCI P вводится путем специфицирования множества допустимых конфигураций для валентных электронов.
-
Многоэлектронная волновая функция представлена как линейная комбинация слеттеровских детерминантов из модельного подпространства
(4.1996ДФК)
Вариация Ci приводит к задаче на собственные значения для матрицы:
(5.1996ДФК)
это означает, что матрица энергии метода НК может быть представлена как проекция точного гамильтониана Н на модельное пространство:
(6.1996ДФК)
Мы предположим, что можно выбрать PCI так, что желаемая точность решения уравнения Шрёдингера в пространстве Р может быть достигнута. По этой причине, ниже, мы не будем различать PCI и Р.
Запишем оператор РНР в явном виде. Поскольку остов в подпространстве Р заморожен, мы можем исключить электроны остова из рассмотрения путем осреднения гамильтониана по одноэлектронной волновой функции электронов остова.
-
После этого оератор РНР имеет такой вид:
(7.1996ДФК)
где Ecore включает кинетическую энергию электронов остова и их кулоновское взаимодействие с ядром и друг с другом. Одночастичный оператор hCI действует на валентные электроны и включает кинетический член и кулоновское взаимодействие с ядром и электронами остова. Последнее слагаемое в уравнении (7.1996ДФК) отражает взаимодействие валентных электронов между собой. В данной части работы используются атомные единицы, если явно не оговорено обратное.
Оператор (7.1996ДФК) может использоваться в уравнении (5.1996ДФК) вместо Н. В этом случае детерминанты |I> и |J> включают только валентные электроны. Это уравнение соответствует чистому методу НК в приближении замороженного остова.
Для записи точного эквивалента исходного уравнения Шрёдингера в подпространстве Р сделаем P, Q декомпозицию гамильтониана и волновой функции многочастичной задачи:
(8.1996ДФК)
(9.1996ДФК)
-
(10.1996ДФК)
Уравнение Шрёдингера (10.1996ДФК) можно записать как систему уравнений для Ф и :
(11.1996ДФК)
(12.1996ДФК)
Теперь мы можем определить функцию Грина в подпространстве Q:
(13.1996ДФК)
затем использовать уравнение (12.1996ДФК) для исключения :
(14.1996ДФК)
Это дает нам шрёдингеро-подобное уравнение в подпространстве Р, с эффективным гамильтонианом, зависящим от энергии:
(15.1996ДФК)
(16.1996ДФК)
Подставляя (14.1996ДФК) в (9.1996ДФК), мы так же можем переписать условия ортонормированности для решений уравнения (10.1996ДФК) в терминах решений уравнения (15.1996ДФК) :
(17.1996ДФК)
Уравнения (15.1996ДФК)- (17.1996ДФК) и (14.1996ДФК)- точные эквиваленты уравнения (10.1996ДФК). Из-за сависимости операторов Σ и RQ от энергии, эти уравнения должны решаться итеративно.
-
Если нас интересуют только несколько низких уровней энергии, то в первом приближении мы можем пренебречь этой зависимостью энергии и оценить оба оператора для некоторой энергии Eav≈Ei≈Ek. В этом приближении уравнение (17.1996ДФК) выражено через производную оператора (16.1996ДФК) :
(18.1996ДФК).
Для правильного выбора подпространства Р, EΣ(E) может быть на столько малым, что можно применить обычное условие ортонормальности. В этом случае стандартные процедуры НК можно использовать для решения уравнения (15.1996ДФК), при условии, что оператор Σ(Eav) вычислен ранее. В другом случае можно вычислить по МЧТВ, как показано подробнее в следующем разделе.
Если подпространство Р включает только один электрон оператор РНР сводится к оператору Дирака-Фока с потенциалом VN-1, Σ сводится к одночастичному оператору самоэнергии. В этом случае уравнения (15.1996ДФК) и (18.1996ДФК) определяют орбитали Бракнера, оператор Σ может рассматриваться как прямое обобщение одночастичного оператора самоэнергии Σ к случаю нескольких валентных электронов.
-----
III.1996ДФК. Многочастичная теория возмущений для Сигма.
А.III.1996ДФК. Ряд поправок разных порядков в выражении для теории возмущений.
В этом разделе мы получим разложение теории возмущений для выражения (16.1996ДФК). Форма этого разложения зависит от выбора оператора h0(1), который определяет начальное приближение. Самая простая форма этого разложения соответствует V^{N-1}core- приближению, для которого h0- оператор Дирака-Фока для остова. Однако, когда количество валентных электронов больше одного, это приближение слишком грубое для того, чтобы с него начинать, поскольку оно скорее соответствует многозарядному иону, чем нейтральному атому. Это значит, некоторые или все валентные электроны так же должны быть включены в само-согласованную процедуру. Для случая таллия лучше использовать приближение V^{N-1} (смотрите [25.1996ДФК]).
-
Процедура Хартри-Фока выполняется для иона с замкнутыми оболочками Tl^+, базисное множество возбужденных состояний валентных электронов вычисляется в поле замороженного остова Tl^+.
Определим N_{DF}, как количество электронов, включенных в само-согласованную процедуру Хартри-Фока: N_core =< N_{DF} =< N, N- общее количество электронов в атоме. Теперь мы можем определить h0 как соответствующий оператор Дирака-Фока:
(19.1996ДФК)
Введем операторы рождения (аннигиляции) a_i^+ (a_i) для функции (1.1996ДФК)
(20.1996ДФК)
где є_і- энергия Дирака-Фока орбитали i.
Соответствующий оператор Дирака-Фока в многоэлектронним пространстве H_{DF} может быть записан как:
(21.1996ДФК)
где b^+_m=a_m, b_m=a^+_m- операторы рождения (аннигиляции) дырок в остове. Энергия E_core в уравнениях (7.1996ДФК) и (21.1996ДФК) определяется как матричный элемент точного гамильтониана Н с волновой функцией остова:
(22.1996ДФК)
(23.1996ДФК)
-
Заметте, что волновая функция остова psi_core включает N_Core электронов, но сконструирована из решений уравнения (20.1996ДФК), которое соответствует само-согласованному полю N_DF электронов. Это значит, что выражение (22.1996ДФК) отличается от энергии Дирака-Фока иона с N_core электронами.
Из уравнений (20.1996DFK), (21.1996DFK) и (23.1996DFK) следует, что
(24.1996DFK)
Это позволяет нам переписать уравнение (16.1996DFK) как
(25.1996DFK)
где nu- оператор двухэлектронного кулоновского взаимодействия, nu^N_DF- оператор взаимодействия N_DF электронов с полем Хартри-Фока.
-
Рис. 1.1996DFK. Диаграммы первого порядка для взаимодействия валентных электронов с остовом.
Рис. 2.1996DFK. Диаграммы второго порядка для самосогласованной энергии валентного электрона.
Выражение (25.1996DFK)- в обычной формк МЧТВ. Теперь мы можем использовать стандартное разложение для оператора R_Q(E), обращаясь с (nu-nu^{N_{DF}}) как с возмущением:
(26.1996DFK)
Подстановка (26.1996DFK) в (25.1996DFK) и переписывание в матричной форме дает
(27.1996DFK)
где U=V-V^N- остаточное взаимодействие. Индексы I и J нумеруют детерминанты из модельного пространства P^{CI}, в то время, как индексы M и L нумеруют детерминанты из пространства Q.
В данной работе мы выполняем расчеты Сигма в более низков (втором) порядке разложения теории возмущений (обсуждение корреляций более высокого порядка смотрите ниже).
-
Подставляя Сигма^(2) в (15.1996DFK), мы получаем уравнение комбинированного метода НК и МЧТВ.
(28.1996DFK)
Это уравнение отличается от (5.1996DFK) членом Sigma^(2), которое соответствует корреляциям, включающим электроны остова.
Заметтьте, что зависящее от энергии выражение для Сигма, соответствует теории возмущений Brillion-Wigner [12.1996DFK]. Существует альтернативный подход Rayligh- Шрёдингера, в котором Сигма зависит от энергии. Однако, этот подход обладает некоторыми недостатками. Матрица задачи на собственные значения становится не смметричной [26.1996DFK]. Это связано с различиями в знаменателях энергии для матричных элементов Sigma^(2)_{IJ} и Sigma^(2)_{JI} (E_I - E_M и E_J - E_M соответственно). Более того, некоторые знаменатели E_I - E_M могут стать малыми, когда индекс I соответствует высоко возбужденной конфигурации.
-
Еще раз подчеркнем, что в нашем подходе только возбуждения из остова расматриваются с помощью МЧТВ. Все валентно- валентные корреляции включены прямо в диагонализацию матрицы. Таким образом, формализм Brillion-Wigner, видимо, более подходящий для нашего случая.
B.1996DFK. Диаграммная техника.
1.B.1996DFK. Взаимодействие с остовом.
В нулевом приближении многочастичной теории возмущений (МЧТВ (MBPT)) взаимодействие валентных электронов с остовом описывается двумя диаграммами (Рис.1.1996DFK), где суммы для внутренних линий пробегают по остову. Взаимодействие с полем Хартри-Фока соответствует тем же диаграммам, но суммы пробегают по электронам N_{DF}. Если N_core=N_{DF}, имеет место полное сокращение этих двух вкладов. Это значит, что все диаграммы, в которых эть блоки, показанные на Рис.1.1996DFK, как одна из частей, пропадают. То же самое остается справедливым для тех блоков, в которых одна из линий внешних электронов заменена дырочной линией.
-
Если N_core2.B.1996DFK. Принцип Паули.
Все диаграммы второго порядка, которые появляются в оценке Сигма^(2), представлены на Рис. 2-6.1996DFK. Мы опускаем несвязанные линии, которые соответствуют состояниям валентных электронов, которые не участвуют во взаимодействии. Поэтому, показанные диаграммы справедливы для любого количества валентных электронов, любого атома и любого конкретного выбора остова. Однако, опущенные линии влияют на величину поправки МЧТВ через принцип Паули. Действительно, состояния, занимаемые валентными электронами, должны быть опущены из суммирования по промежуточным возбужденным состояниям. Реализация принципа Паули "в ручную" сделало бы диаграммы зависимыми от детерминантов и сильно бы увеличила объем вычислений. К счастью, принцип Паули можно просто проигнорировать из-за точного сокращения "неправильных" членов в разных диаграммах. Отметим, что это правило работает во всех порядках теории возмущений. Это делает данную теорию очень похожей на МЧТВ для атомов с одним внешним электроном ([14-16.1996DFK]). Два примера сокращений запрещенных по принципу Паули вкладов, показаны на Рис. 7.1996DFK.
3.B.1996DFK. Диаграммы с одной внешней линией.
Это так называемая поправка само-энергии, которая описывает корреляционное взаимодействие валентных электронов с остовом. Первые 4 диаграммы (Рис. 2.1996DFK) - такие же, как и обычная МЧТВ (смотрите, например [16.1996DFK]).
На Рис. 3.1996DFK показаны вычитательные диаграммы для само-энергии. У каждой ассимметричной диаграммы есть партнер зеркального образа, который явно не показан. Вычитательные диаграммы могут быть довольно большими, и они существенно уменьшают окончательную величину поправки само-энергии.
4.B.1996DFK. Диаграммы с двумя внешними линиями.
Экранировка взаимодействия между валентными электронами электронами остова описывается диаграммами, показанными на Рисунках 4 и 5.1996DFK. Результирующая экранировочная поправка к взаимодействию между валентными электронами может быть записана в виде эффективного радиального интеграла, как это обычно делается для кулоновских интегралов. Однако, следует помнить о следующих специфических особенностях коробчатых (box) диаграмм на Рисунках 4.4-4.6..1996DFK.
(1) Эффективные радиальные интегралы для коробчатых (box) диаграмм имеют более низкую симметрию, чем кулоновские. В частности, перемена (смена) начально и конечного состояний либо в верхних, либо в нижних линиях изменяет (это) интеграл.
(2) Для коробчатых (box) диаграмм нет корреляции между мультипольностью и четностью перехода. Например переход A1/2 --> p1/2 может быть либо монопольным, либо дипольным.
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.