.RU
Карта сайта

лабораторная работа № 2 - М. В. Лукина Лабораторные работы по методам

лабораторная работа № 2

Приближенное решение нелинейных уравнений


Пусть требуется приближенно решить уравнение .

Эта задача может быть решена точно лишь для очень узкого класса функций. Уже для многочленов степени выше четырех не существует формул, выражающих их корни через коэффициенты с помощью радикалов. Для большинства же уравнений, встречающихся в различных приложениях математики и технических задачах, приближенные методы решения являются единственно возможными.

Приближенное решение уравнения распадается на несколько задач:

  1. Локализация и отделение корня.

  2. Вычисление корня уравнения с заданной точностью .

Локализация корней  необходимо определить количество, характер и расположение корней на числовой прямой. Все следующие задачи решаются для каждого корня в отдельности. Отделение корня  нужно указать отрезок , внутри которого лежит один и только один корень данного уравнения. Локализация и отделение корня обычно выполняется графически и опирается на теорему: Если непрерывная функция на концах отрезка принимает значения разных знаков,а первая производная постоянна по знаку, то на этом отрезке существует ровно одна точка, в которой функция обращается в ноль.

Вычислить корень с заданной точностью значит подобрать такое число , для которого выполняется неравенство , то есть указать на числовой прямой точку, лежащую на расстоянии не большем, чем допустимая погрешность, от точного значения корня. Вычисление корня уравнения с заданной точностью может быть выполнено различными методами 2.

Метод половинного деления. Отрезок , содержащий корень уравнения, делим пополам точкой . Если , из двух получившихся отрезков и выбираем тот, который содержит корень уравнения. То есть тот отрезок на концах которого, функция принимает значения разных знаков. Этот новый отрезок делим пополам и т.д. Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станем меньше , тогда в качестве можно взять любую точку отрезка (Почему?).

Метод касательных или метод Ньютона. Этот метод может быть использован только в том случае, если функция на отрезке не имеет точек перегиба, т.е. вторая производная постоянна по знаку. Тогда приближенное значение корня вычисляется по формуле , где выбирается из условия . Правило остановки вычислений для метода следующее: пусть , тогда, если при некотором n выполняется , можно положить с погрешностью, не превышающей . Заметим, что данный метод отличается быстрой сходимостью.

Метод итераций. Для применения этого метода уравнение необходимо записать в виде , причем сжимающая функция (). Приведем теорему, на которой основан универсальный способ преобразования исходного уравнения: Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , тогда для любого функция является сжимающей на отрезке , причем при коэффициент сжатия принимает минимально возможное значение .

Выбрав произвольную точку , последовательные приближения будем вычислять по формуле до тех пор, пока не будет выполнено условие . Тогда с погрешностью, не превосходящей .

цель работы


Приближенно вычислить все корни данного уравнения с заданной погрешностью .

порядок выполнения работы

пример


Решим кубическое уравнение с абсолютной погрешностью .

Запишем функцию и ее производные:

, , .

Вычислим корни первой и второй производной. . .

Из графика функции (Приложение 2) видно, что корни уравнения принадлежат отрезкам соответственно.

Корень вычислим методом половинного деления. Вычисления оформим в виде таблицы (Таблица 1).

Таблица 1

Вычисления можно прекратить, поскольку длина последнего отрезка не превосходит .

В качестве приближенного значения корня возьмем середину последнего отрезка .

Методом Ньютона будем вычислять . Отрезок не содержит точек перегиба, т. к. вторая производная на нем постоянна по знаку. В качестве начального приближения возьмем . Поскольку первая производная монотонна на данном отрезке (Почему?), ее минимум достигается на одном из концов отрезка. Поэтому возьмем .

Результаты расчетов по методу Ньютона (Приложение 3) представим в таблице (Таблица 2).

Таблица 2

Поскольку вычисления можно прекратить.

Последний корень вычислим методом итераций. Поскольку первая производная функции монотонна на отрезке (Почему?) максимум и минимум достигается ею на концах отрезка, поэтому имеем . Вычислим . Вычисления по методу итераций (Приложение 4) запишем в виде таблицы (Таблица 3).

Таблица 3

На последнем шаге имеем , вычисления можно прекратить.

Сделаем необходимые округления и окончательно запишем

вопросы для самоконтроля


  1. Почему возникает необходимость применения методов приближенного решения нелинейных уравнений?

  2. На какие этапы можно разделить приближенное решение нелинейного уравнения?

  3. Что понимают под локализацией корней?

  4. Что такое отделение корня?

  5. Что означает вычислить корень с заданной точностью?

  6. Какие методы вычисления корня известны?

  7. О каждом методе надо знать

    1. условия применения

    2. формула для вычисления

    3. правило остановки расчетов

    4. графическая иллюстрация

задания для самостоятельного решения











2014-07-19 18:44
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.