.RU
Карта сайта

1.3. Решение неопределенной системы линейных уравнений - Решением системы линейных уравнений


1.3. Решение неопределенной системы линейных уравнений



1.3.1. Экономическая интерпретация множества решений



системы линейных уравнений



Примеры моделирования экономических процессов системами линейных уравнений (см. п.1.1) свидетельствуют о том, что решением этих систем являются векторы экономических параметров, значения которых используются, например, для организации процессов производства.

Если рассматриваемая система линейных уравнений является определенной, то единственный вектор ее решения однозначно определяет необходимые параметры. Если же система линейных уравнений оказывается неопределенной, то ее решение представляет собой множество векторов параметров. Тогда требуется применение дополнительных процедур для того, чтобы среди этого множества найти оптимальное решение.

Таким образом, моделирование экономического процесса с помощью системы линейных уравнений может привести к трем результатам:

  1. получится определенная система линейных уравнений с единственным вектором-решением;

  2. получится неопределенная система линейных уравнений с множеством векторов-решений;

  3. получится несовместная система линейных уравнений, у которой нет ни одного решения.

В первом случае, когда с помощью модели мы получаем единственной решение, появляется уверенность в том, что мы учли все условия протекания моделируемого экономического процесса.

Во втором случае, когда мы получаем множество решений, возникает сомнение в том, все ли условия экономического процесса мы учли в его модели. Как правило, оказывается, что экономический процесс при тех условиях, которые могут быть смоделированы с помощью системы линейных уравнений, сам в действительности является неоднозначным и имеет множество вариантов развития.

Наконец, в третьем случае, когда моделирование системой линейных уравнений не позволяет получить результат, можно утверждать, что построенная модель неадекватна реально существующему экономическому процессу.

Приведенное заключение свидетельствует о необходимости подробного изучения неопределенной и несовместной систем линейных уравнений.

1.3.2. Векторное пространство и его базис



Рассмотрим систему линейных уравнений, определяемую матрицей коэффициентов и расширенной матрицей:

.

Известно, что если , т.е. число неизвестных равно числу уравнений, и определитель квадратной матрицы коэффициентов

,



то система линейных уравнений является определенной, т.е. имеет одно единственное решение.

Если же , т.е. число уравнений меньше числа неизвестных, то система линейных уравнений может быть несовместной, т.е. не иметь ни одного решения, либо может быть неопределенной, т.е. иметь множество решений. Другими словами, такая система линейных уравнений не может быть определенной, т.е. не может иметь одно единственное решение.

Исследуем механизм неопределенности системы линейных уравнений, а именно, как образуется множество решений и какие в нем есть закономерности.

Множество векторов-решений неопределенной системы линейных уравнений образует

векторное пространство

, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Если рассматривается неопределенная система линейных уравнений с

неизвестными, то ее решения составляют

-

мерное векторное пространство

.

Суммой

векторов и называется вектор:



компоненты которого суть суммы соответствующих компонент слагаемых векторов,

где

Произведением вектора

на число

называется вектор:



где

Линейной комбинацией векторов

называется вектор если существуют такие числа что



где



Линейно зависимой

называется система векторов при , если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией других векторов этой системы, и

линейно независимой

– в противном случае.

Тогда, указанная система векторов линейно зависима, если существуют такие числа не все равные нулю, для которых выполняется равенство .

Если каждый вектор векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов из некоторой линейно независимой системы векторов, то такая линейно независимая порождающая система векторов называется

базисом

векторного пространства.

Примером базиса -мерного векторного пространства служит система векторов



называемых

единичными векторами

этого пространства.

В -мерном векторном пространстве существует бесконечно много различных линейно независимых систем векторов. Всякая максимальная линейно независимая система векторов (базис) -мерного векторного пространства состоит из

векторов.

По аналогии с базисом векторного пространства, порождающим это пространство, решение системы линейных уравнений определяется линейно независимыми строками (столбцами) матрицы коэффициентов (расширенной матрицы) этой системы линейных уравнений. Следовательно, необходимо научиться находить максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

1.3.3. Ранг матрицы и его вычисление



Остался нерассмотренным случай, когда , т.е. число уравнений не меньше числа неизвестных. Оказывается в этом случае система линейных уравнений может быть или несовместной, или неопределенной, или определенной. Все зависит от числа линейно независимых строк (столбцов) ее матрицы коэффициентов. Поэтому вводится следующее понятие.

Рангом матрицы





называется максимальное число линейно независимых ее строк (столбцов).

Обозначается ранг матрицы как .

Выберем в матрице произвольные строк и столбцов, . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу -ого порядка, определитель которой называется

минором

-ого порядка

матрицы .

Когда определитель квадратной матрицы, или минор равен нулю, строки или столбцы в этой квадратной матрице линейно зависимы. Если все миноры -ого порядка матрицы равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы. Поэтому при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор -ого порядка не равный нулю, то вычисляются лишь миноры -ого порядка, окаймляющие этот ненулевой минор.

Окаймляющим минором

-ого порядка

является определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы, для которой рассчитан минор -ого порядка, добавлением к ней по одной строке и одному столбцу из любых не входящих в нее оставшихся строк и столбцов всей матрицы .

Перебрав все оставшиеся строки и столбцы, переберем все окаймляющие миноры -ого порядка.

  1. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен

  2. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы больше и вычисляется по аналогичной схеме.



Пример



Найти ранг матрицы



Решение.



Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы:



Однако в матрице есть и отличные от нуля миноры второго порядка:



Окаймляющий минор третьего порядка



Однако оба минора четвертого порядка, окаймляющие минор равны нулю:



Т. о., ранг матрицы равен трем:

.



Следовательно, в данной матрице три линейно независимые строки и три линейно независимых столбца. И те, и другие – первые.



1.3.4. Признак совместности системы линейных уравнений



Рассмотрим систему уравнений с неизвестными:



Матрица коэффициентов и расширенная матрица имеют вид:



Теорема Кронекера – Капелли

. Система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы т.е.

Из теоремы следует:

  1. если то соответствующая система линейных уравнений несовместна;

  2. если то соответствующая система линейных уравнений определенная;

  3. если и , то соответствующая система линейных уравнений неопределенная.

Перечисленные следствия учитывают все многообразие систем линейных уравнений. Выполнение условий и соответствует выполнению также условий и . Например, пусть и , тогда в неопределенной системе линейных уравнений ,а для и в неопределенной системе линейных уравнений тоже .

1.3.5. Нахождение решений неопределенной системы линейных уравнений



Считая, что в совместной системе линейных уравнений все уравнений независимы, ранг и число уравнений меньше числа переменных , любые переменных назовем

базисными

, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные переменных называются

свободными

.

Базисными могут быть разные группы из переменных. Максимально возможное число групп базисных переменных равно числу способов выбора переменных из их общего числа , т.е. числу сочетаний .

Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений, для которой

и :

  1. отбрасываются уравнений, коэффициенты которых не вошли в определитель максимального порядка;

  2. в правую часть уравнений переносятся свободных неизвестных, коэффициенты при которых не вошли в определитель максимального порядка;

  3. решается система уравнений с базисными переменными, находящимися в левой части уравнений, и в результате базисных переменных выражаются через свободных переменных.



Пример



Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

.

Решение.



Расширенная матрица имеет вид:

.

Применяя элементарные преобразования (из второй строки вычитаем первую, из третьей и четвертой строк вычитаем две первые), получим:

.

В полученной матрице вторая, третья и четвертая строки линейно зависимы. Поэтому продолжая элементарные преобразования (из третьей строки вычитаем три вторых строки, к четвертой строке прибавляем вторую, а из первой строки вычитаем вторую), получим:

.

Тогда исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

.

Общее решение имеет вид:



Найдем базисные решения. Для этого полагаем , тогда . Базисное решение имеет вид: .

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем и . Выразим неизвестные и через неизвестные и :



Тогда базисное решение имеет вид: .



1.3.6. Особенности решения системы линейных однородных уравнений



Однородным

называется уравнение, у которого свободный член равен нулю.

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. обладает

нулевым решением.



Если в системе линейных однородных уравнений число независимых уравнений меньше числа неизвестных (), то она неопределенная, т.к. помимо нулевого решения обладает бесконечным множеством

ненулевых решений

.

Вопросы для самопроверки



Какой размерности векторное пространство составляют решения совместной системы линейных уравнений с неизвестными?

Что представляет собой сумма векторов?

Что представляет собой произведение вектора на число?

Какой вектор называется линейной комбинацией других векторов?

Чем различаются линейно зависимые и линейно независимые системы векторов?

Выполнение какой зависимости свидетельствует о линейной зависимости векторов?

Что называется базисом векторного пространства?

Какая система единичных векторов служит базисом -мерного векторного пространства?

Сколько различных линейно независимых систем векторов существует в векторном пространстве?

Из скольких векторов состоит каждый базис -мерного векторного пространства?

Как называется максимальное число линейно независимых строк или столбцов матрицы?

Какое число называется минором -ого порядка матрицы ?

О какой зависимости между строками или столбцами квадратной матрицы свидетельствует равенство нулю ее определителя?

Если в определенной матрице минор некоторого порядка равен нулю, то чему равны миноры более высокого порядка в этой же матрице?

Как получается окаймляющий минор?

Что можно сказать о решении системы линейных уравнений с неизвестными, если ранг матрицы ее коэффициентов при неизвестных равен рангу соответствующей расширенной матрицы?

Что можно сказать о решении системы линейных уравнений с неизвестными, если ранг матрицы ее коэффициентов при неизвестных меньше ранга соответствующей расширенной матрицы?

Что можно сказать о решении системы линейных уравнений с неизвестными, если ранг матрицы ее коэффициентов при неизвестных равен рангу соответствующей расширенной матрицы и равен числу, меньшему числа неизвестных?

Что можно сказать о решении системы линейных уравнений с неизвестными, если ранг матрицы ее коэффициентов при неизвестных равен рангу соответствующей расширенной матрицы и равен числу неизвестных, не большему числа уравнений?

Сколько переменных системы линейных уравнений можно назвать базисными, а сколько – свободными, если ранг матрицы этой системы равен числу уравнений, меньшему числа неизвестных?

Чем определяется максимально возможное число групп базисных переменных?

Какие уравнения называются однородными?

В каком случае система линейных однородных уравнений является неопределенной? 2014-07-19 18:44
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.