.RU
Карта сайта

12. 2. Пытанні для самакантролю - Уводзіны у матэматычны аналіз

12. 2. Пытанні для самакантролю


1. Дакажыце першую тэарэму Бальцана-Кашы.

2. Якім чынам адзін з доказаў тэарэм Бальцана-Кашы можна скарыстоўваць пры знаходжанні рашэння раўнання .

3. Пакажыце, што патрабаванне непарыўнасці функцыі на адрэзку[a; b] істотна.

4. Дакажыце сцвярджэнне: няхай функцыя непарыўна на адвольным прамежку |a; b| і , тады для любога С, mf(c)=C, гэта значыць, што значэнні непарыўнай функцыі – гэта ўсе значэнні прамежка |m; M|,

(|a; b| – (a; b), [a; b], …, (-?, b), …, (-?, +?)).

5. Які геаметрычны сэнс тэарэмы 1 і тэарэмы 2.

6. Пакажыце, што тэарэма, аналагічная тэарэме 3, не мае месца для прамежкаў, якія не з’яўляюцца адрэзкамі.
  1. 12. 3. Прыклады развязання задач


1.

Паказаць, што раўнанне мае прынамсі адзін корань.

Рашэнне



Функцыя f(x)= непарыўна на R, акрамя таго функцыя змяняе знак: і , таму паводле тэарэмы Бальцана-Кашы ўнутры адрэзка [0; ] існуе прынамсі адзін пункт, у якім f(x)=0, гэта значыць, што раўнанне на гэтым адрэзку мае прынамсі адзін корань.

2.

Дадзена функцыя на [-1; 1]



Ці існуе на гэтым адрэзку пункт, у якім f(x)=0?

Рашэнне



У канцавых пунктах адрэзка функцыя прымае розныя знакі: і . Так як для ўсіх 0, а , то пункта, у якім f(x)=0 няма. Гэта тлумачыцца тым, што функцыя мае разрыў у пункце x=0.

3.

Ці прымае функцыя на адрэзку [-1; 1] значэнне f(x)=1.5.

Рашэнне



Функцыя f(x) непарыўна на [-1; 1], і , таму паводле тэарэм 2 і 3 паміж пунктамі –1 і 1 знойдзецца пункт, у якім f(x)=1.5.

4.

Ці будзе абмежаванай функцыя

на [0; 10].

Ці існуюць значэнні аргумента, у якіх функцыя дасягае найбольшага і найменшага значэнняў.

Рашэнне



Функцыя f(x) непарыўна на адрэзку [0; 10], так як на гэтым адрэзку непарыўны функцыі і , таму па тэарэмам 3 і 4 яна абмежаваная, і існуюць пункты, у якіх f(x) дасягае дакладнай верхняй і дакладнай ніжняй мяжы.

5.

На адрэзку [0; 2] зададзена функцыя



Ці дасягае функцыя на дадзеным адрэзку сваёй дакладнай верхняй мяжы і дакладнай ніжняй мяжы.

Рашэнне



але ж не існуе пунктаў, у якіх функцыя прымала бы значэнні, роўныя дакладнай верхняй мяжы і дакладнай ніжняй мяжы. Гэта тлумачыцца тым, што функцыя f(x) разрыўна ў пункце x=1.

12. 4. Практыкаванні для самастойнай працы



1. Даказаць, што калі функцыя f(x) непарыўна ў прамежку [a; +?) і існуе канечны , то гэта функцыя абмежавана ў дадзеным прамежку.

2. Даказаць, што калі функцыя f(x) непарыўна на (a; b) і - любыя значэнні з гэтага інтэрвала, тады паміж імі знойдзецца такі лік ?, што



3. Ці абавязкова абмежавана функцыя, непарыўная на (a; b); на R?

4. Ці праўдзіцца першая тэарэма Вайерштраса, калі ў яе фармулёўцы:

  1. замясціць [a; b] на [a; b);

  2. замясціць [a; b] на [a; b][c; d];

  3. функцыя не з’яўляецца непарыўнай?

5. Даказаць, што наступныя раўнанні маюць рашэнні на дадзеных адрэзках:

[0; 1];

[-1; 0];

[0; ].

6. Ці мае корань раўнанне на [-1; 1].

7. Для функцыі маем . Ці вынікае адсюль існаванне пункта , у якім ?

8. Даказаць, што ўсялякае алгебраічнае раўнанне



няцотнай ступені з сапраўднымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін корань.

9. Паказаць, што функцыя на любым адрэзку [a; b] даўжыні больш за 1 дасягае свайго найменшага значэння, але не дасягае найбольшага. Чаму гэта так?

10. Паказаць, што функцыя дасягае на [0; 4] найбольшага значэння, але не дасягае найменшага. Чаму гэта так?

11. Пабудаваць функцыю, разрыўную ў пункце , якая дасягае на адрэзку [-1; 1] свайго найменшага і найбольшага значэнняў.

12. Даказаць, што калі многасклад цотнай ступені прымае прынамсі адно значэнне, якое мае знак працілеглы знаку каэфіцыента пры яго старэйшай ступені, тады ён мае прынамсі два сапраўдныя карані.

Літаратура



  1. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу. М.: «Высш. шк.», 1999.

  2. К. А.Бохан, И.А.Егорова, К. В. Лащенов. Курс математического анализа. М., 1971. Т. 1.

  3. В.А.Зорич. Математическій анализ. Ч. 1. М.: «Фазис», 1997. Ч. 2. М.: «Наука», 1990.

  4. В. А.Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. М., 1982. Ч. 1. 3.

  5. В. А.Ильин, В. А.Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. М., 1978.

  6. Л. Д. Кудрявцев. Математический анализ. М., 1970. Т. 1.

  7. В.Русак, Л. Шлома, В. Ахраменка, А. Крачкоўскі. Курс вышэйшай матэматыкі. Мн.: «Выш. шк.», 1994.

  8. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1948. Т. 1.

  9. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 2т. Изд.-во «Лань», Санкт-Петербург . 1997.


2014-07-19 18:44
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.