.RU
Карта сайта

§ 8. Дастасаванні шэрагаў - Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка

§ 8. Дастасаванні шэрагаў



1. Прымяненне шэрагаў да вылічэння лімітаў, вытворных і інтэгралаў



Пры вылічэнні лімітаў дробаў, лічнікі і назоўнікі якіх ўмкнуцца да нуля, выкарыстоўваюцца разнастайныя прыёмы: выкарыстоўваюць таблічныя формулы, эквівалентныя бясконца малыя і правіла Лапіталя. Існуе яшчэ вельмі эфектыўны спосаб вылічэння лімітаў стасункаў, які заснаваны на выкарыстанні ступеневых шэрагаў.

Гэты метад заключаецца ў наступным. Лічнік і назоўнік дробу раскладаюць у ступеневыя шэрагі (па ступенях адной і той жа рознасці ) Пасля гэтага ажыццяўляюць неабходныя скарачэнні, пасля чаго нявызначанасць звычайна знікае.

Прыклад 1. Вылічыць

.

Рашэнне. Пераўтворым дадзены выраз:

.

Запішам расклады атрыманых функцый у ступеневыя шэрагі у наваколлі пункта :

,

,

.

Падставіўшы атрыманыя расклады ў дадзены выраз, атрымаем:



Пры дапамозе шэрагаў Тэйлара можна знаходзіць лікавыя значэнні вытворных любога парадку ад дадзенай функцыі. У прыватнасці, каб знайсці , неабходна раскласці функцыю у шэраг Тэйлара па ступенях , а затым паводле формулы вылічыць патрэбную вытворную (адзначаная формула атрымліваецца з агульнага выразу для каэфіцыентаў шэрагу Тэйлара).

Прыклад 2. Знайсці вытворную 10-га парадку ад функцыі у пункце .

Рашэнне. Раскладзём дадзеную функцыю ў шэраг Тэйлара па ступенях

:

Паколькі , то

.

Тэорыю шэрагаў можна выкарыстоўваць і пры інтэграванні функцый. Калі функцыя раскладаецца ў раўнамерна збежны на адрэзку шэраг, то інтэграл , дзе , часта таксама лёгка выяўляецца ў выглядзе збежнага шэрагу.

Прыклад 3. Уявіць у выглядзе шэрагу інтэграл

.

Рашэнне. Знойдзем расклад падынтэгральнай функцыі у шэраг Тэйлара па ступенях :

.

Адрэзак цалкам належыць інтэрвалу збежнасці атрыманага шэрагу, таму шэраг на ім збягаецца раўнамерна, а значыць, яго можна паскладова інтэграваць на гэтым адрэзку.

Выканаўшы інтэграванне, атрымаем

.

Такім чынам, сума знойдзенага шэрагу дае дакладнае значэнне зыходнага інтэграла.

2. Інтэграванне дыферэнцыяльных раўнанняў пры дапамозе ступеневых шэрагаў



Інтэграванне многіх дыферэнцыяльных раўнанняў не прыводзіць да квадратураў, а іх рашэнні не выражаюцца праз элементарныя функцыі.

Калі праінтэграваць дыферэнцыяльнае раўнанне пры дапамозе элементарных функцый нельга, то яго рашэнне ў некаторых выпадках можна шукаць у выглядзе ступеневага шэрагу.

. (1)

Нявызначаныя каэфіцыенты ()знаходзяць шляхам падстаноўкі шэрагу (1) у раўнанне і параўнання каэфіцыентаў пры аднолькавых ступенях у левай і правай частках атрыманай роўнасці. У выніку, гэтыя роўнасці разам з пачатковымі умовамі утвараюць сістэму, з якой паслядоўна вызначаюцца. Як правіла, гэты працэс спыняюць на якім-небудзь кроку і атрымліваюць тым самым набліжанае рашэнне

.

Можна таксама шукаць рашэнне раўнання

, дзе , (2)

у выглядзе шэрагу Тэйлара

, (3)

дзе , , і далейшыя вытворныя паслядоўна знаходзяцца пры дапамозе дыферэнцавання раўнання (2) і падстаноўкі замест ліку .

Прыклад 4. Знайсці рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання

(4)

пры пачатковай умове .

Рашэнне. Рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання (4) шукаем у выглядзе шэрагу

.

З пачатковай умовы вынікае

.

Падстаноўка ў дадзенае дыферэнцыяльнае раўнанне дае

.

Параўноваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях у апошняй роўнасці, атрымаем сістэму раўнанняў:

(5)

Рашыўшы сістэму (5), будзем мець:

.

Такім чынам

.

Адзначым, што у большасці выпадкаў рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання атрымліваецца у выглядзе шэрагу, сума якога не з’яўляецца элементарнай функцыяй.

Прыклад 5. Знайсці рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання

; . (6)

Рашэнне. Мяркуем

.

Маем , . Дыферэнцыруючы абедзве часткі раўнання (6), паслядоўна знаходзім

, і г.д.

Такім чынам,

.

Для разглядаемага прыкладу знойдзенае рашэнне можна запісаць у канечным выглядзе

або .

3. Набліжаныя вылічэнні пры дапамозе шэрагаў



Шэрагі ўяўляюць сабой апарат , зручны для набліжаных вылічэнняў. Разгледзім некалькі прыкладаў набліжаных вылічэнняў пры дапамозе шэрагаў.

Прыклад 6. Вылічыць з дакладнасцю да 0,0001.

Рашэнне. Скарыстаем біномны шэраг:

,

які, як вядома, збягаецца пры .

Уявім зараз дадзены корань у выглядзе

.

Для функцыі атрымаем наступны расклад:



.

Калі замест падставіць лік , атрымаем лікавы шэраг:

.

Мы маем знакачаргавальны шэраг, які задавальняе прымеце Лейбніца, таму калі возьмем у якасці набліжанага значэння сумы гэтага шэрагу суму першых яго складнікаў, то будзем мець абсалютную хібнасць, меньшую чым першы адкідваемы складнік.

Паколькі мы павінны вылічыць значэнне кораня з дакладнасцю да 0,0001, то для падліку трэба ўзяць першыя тры складнікі шэрагу. Сапраўды, ўжо чацвёрты складнік, памножаны на пяць будзе

.

Ажыццяўляем вылічэнні (множым кожны складнік шэрагу на 5):

.

Такім чынам,

(з дакладнасцю да 0,0001).

Прыклад 7. З дакладнасцю да 0,00001 вылічыць .

Рашэнне. У формуле



мяркуем . Тады

.

Атрыманы шэраг з’яўляецца шэрагам Лейбніца. Таму хібнасць пры замене яго сумы сумай першых складнікаў не перавысіць першага адкідваемага складніка. Паколькі (<0,00001), дастаткова ўзяць суму першых чатырох складнікаў, каб атрымаць шуканае значэнне з зададзенай дакладнасцю.

Такім чынам,

.

Прыклад 8. Вылічыць з дакладнасцю да

.

Рашэнне. Расклад падынтэгральнай функцыі ў ступеневы шэраг мае выгляд



.

Праінтэграваўшы гэты шэраг паскладова, атрымаем:



Атрыманы лікавы шэраг ёсць шэраг Лейбніца. Хібнасць , якая атрымліваецца пры адкідванні ўсіх складнікаў, пачынаючы з трэцяга, будзе па абсалютнай велічыні меньшай трэцяга складніка:

.

Такім чынам, з дакладнасцю да , маем:

.

Прыклад 9. Вылічым з дакладнасцю да

Рашэнне. Маем:

.

Памножыўшы ўсе складнікі шэрагу на , атрымаем функцыйны шэраг:

.

Складнікі атрыманага функцыйнага шэрагу не перавышаюць адпаведных складнікаў лікавага шэрагу

,

які збягаецца (у гэтым лёгка пераканацца, скарыстаўшы прымету Даламбера). Значыць, згодна з прыметай Вейерштраса функцыйны шэраг збягаецца раўнамерна пры .

З раўнамернай збежнасці функцыйнага шэрагу вынікае, што яго можна паскладова інтэграваць. Таму



Высветлім, колькі складнікаў лікавага шэрагу неабходна ўзяць для вылічэння інтэграла з дакладнасцю да .

Для гэтага ацэнім астачу шэрагу пасля га складніка:



Відавочна, што для вылічэння інтэграла з дакладнасцю да дастаткова ўзяць два складнікі атрыманага шэрагу. Сапраўды,

.

Здзейсніўшы вылічэнні з дакладнасцю да будзем мець:

.

Такім чынам, з дакладнасцю да .

Прыклад 10. Карыстаючыся формулай , знайсці з дакладнасцю да .

Рашэнне. Пакажам спачатку, як атрымана гэта формула. Калі раскласці функцыі і у ступеневыя шэрагі па ступенях , а затым скласці іх у агульным абсягу збежнасці то знаходзім:

.

Мяркуючы тут , атрымаем адзначаную формулу.

Знойдзем цяпер адпаведны лік складнікаў апошняга шэрагу для вылічэння значэння . З гэтай мэтай ацэнім астачу гэтага шэрагу. Маем:

.

Адсюль вынікае, што калі , то пачынаючы з .

Такім чынам,

.

ЛІТАРАТУРА



  1. Виноградова, И.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды)/ И.А. Виноградова, С.Н. Олехник,
    В.А. Садовничий.– М.: Факториал, 1996.– 477 с.

  2. Гусак, А.А. Ряды и кратные интегралы/ А.А. Гусак.– Мн.: БГУ, 1970.– 384 с.

  3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/
    Г.С. Бараненков ?и др.?; под ред. Б.П. Демидовича.– М.: Наука, 1978.– 480 с.

  4. Математический анализ в примерах и задачах, ч. 2. Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы/
    И.И. Ляшко [и др.].– Киев: Вища школа, 1977.– 672 с.

  5. Сборник задач по курсу высшей математики/ Г.И. Кручкович [и др.]; под ред. Г.И. Кручковича.– М.: Высшая школа, 1973.– 576 с.

  6. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды/
    Л.Д. Кудрявцев [и др.]; под ред. Л.Д. Кудрявцева.– М.: Наука, 1986.– 528 с.

  7. Шмелев, П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях/ П.А. Шмелев.–
    М.: Высшая школа, 1983.– 176 с.

  8. Шылінец, У.А. Шэрагі: вучэб. дапам./ У.А. Шылінец.– Мн.: БДПУ,
    2004.– 74 с.

  9. Шылінец, У.А. Шэрагі: практыкум / У.А. Шылінец, П.І. Кібалка, І.У. Кірушын.– Мінск: БДПУ, 2009.– 116 с.

2014-07-19 18:44
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.