.RU
Карта сайта

§15. Формула Тэйлара - Функцыі некалькіх зменных

§15. Формула Тэйлара



Няхай функцыя z=f(x,y) мае ў пункце непарыўныя вытворныя ўсіх (n+1) парадкаў уключна. І няхай гэтыя вытворныя існуюць у некаторым наваколі пункта . Возьмем у гэтым наваколлі пункт . Затым злучым пункты і адрэзкам прамой , якая ў параметрычнай форме задаецца наступным чынам: , дзе .

Тады ўздоўж гэтага адрэзку функцыя z=f(x,y) з’яўляецца функцыяй адной зменнай : (1)

Відавочна, што (2)

Функцыя -- функцыя адной зменнай , а таму, згодна тэарэме аб вытворнай складанай функцыі, яна мае непарыўную вытворную і праўдзіцца формула Тэйлара:

Калі , тады (3).

Вызначым вытворныя функцыі праз функцыю f(x,y). З(1) атрымаем: .

Калі то . Тады . Такім чынам атрымалі: .

Аналагічна, Таму .

Аналагічна, . З фомулы (3) вынікае, што (4)

Формула (4) называецца формулай Тэйлара з астачай у форме Лагранжа.

У выпадку n зменных.

§16. Неяўныя функцыі, якія азначаны адным раўнаннем



Разгледзім роўнасць . Калі функцыя двух зменных зададзена на некаторым падмностве плоскасці і існуе такая функцыя , якая вызначана на мностве ,якое змяшчаецца ў праекцыі мноства на вось . Для ўсіх і мае месца тоеснасць . Тады функцыя называецца неяўнай функцыяй, якая азначана роўнасцю .

Лемма.

Няхай функцыя непарыўная ў некаторым прамавугольным наваколлі і пры кожным фіксаваным строга манатонная па у на інтэрвале . Тады,калі , то існуюць наваколлі , пунктаў і такія, што для для кожнага існуе адзінае рашэнне раўнання .

Гэта рашэнне з’яўляецца функцыяй ад і абазначаецца і яно непарыўнае у пункце , а .

Доказ.

З умовы пры кожным фіксаваным манатонная па у на інтэрвале (у прыватнасці яна строга манатонна па у пры ). Няхай функцыя , напрыклад, строга нарастае. Возьмем . Паколькі функцыя як функцыя зменнай у,строга нарастае на і , то , . Функцыя двух зменных непарыўна на і пункт і пункт , таму існуе , што ў -- наваколлі пункта выконваецца няроўнасць і ў -- наваколлі пункта выконваецца няроўнасць . У прыватнасці пры маюць месца няроўнасці , . (1)

Паложым , . Паколькі пры фіксаваным функцыя зменай у непарыўна на адрэзку , таму з умовы (1) і згодна тэарэме Бальцана-Кашы аб прамежкавых значэннях непарыўнай функцыі вынікае, што існуе такое , прычым . Паколькі функцыя на строга манатонна, таму адзінае. Такім чынам, атрымалі адназначную адпаведнасць х і , дзе , , якая вызначаецца наступным чынам: . Па азначэнню гэтага адлюстравання для любога , выконваецца , прычым -- адзінае.

Такім чынам, мы даказалі існаванне і адзінасць функцыі . Паколькі і , , а -- адзіная функцыя, таму . Адзначым, што было фіксавана адвольным чынам і па гэтаму было мы знайшлі , што з няроўнасці вынікае,што або . А таму функцыя непарыўна у пункце .

Заўвага.

З гэтай лемы вынікае,што ў адпаведных умовах няяўная функцыя , якая вызначана раўнаннем , існуе і валодае той уласцівасцю, што пры ўмове і роўнасці і раўназначныя.

Тэарэма 16.1.

(Аб існаванні неяўнай функцыі і яе вытворнай.) Калі функцыя непарыўная ў некаторым наваколлі пункта і мае ў гэтым пункце вытворную , непарыўную ў пункце . Тады калі , а , то знойдуцца такія наваколлі і адпаведна пунктаў і , што для кожнага існуе адзінае рашэнне раўнання . Гэта рашэнне непарыўнае ў і . Калі дадаткова палажыць, што функцыя у некаторым наваколлі пункта мае частковую вытворную , непарыўную ў пункце , тады функцыя таксама мае вытворную ў пункце , якая роўна:

§

16

.

Датычная плоскасць і нармаль да паверхні , якая зададзена неяўным раўнаннем



Няхай паверхня S зададзена раўнаннем F(x,y,z)=0.Будзем лічыць , што ,а таксама што ў некаторым наваколлі пункта функцыя F мае непарыўныя частковыя вытворныя , якія адначасова не роўны нулю.Няхай ,напрыелад, ,тады ,згодна тэарэме аб існаванні неяўнай функцыі(тэарэма 15.1),існуе наваколле пункта у якім паверхня зададзена раўнаннем z=f(x,y).

Раўнанне датычнай плоскасці да паверхні S у пункце мае выгляд

,. Таму раўнанне датычнай плоскасці да паверхні ў пункцеможна запісаць наступным чынам: , а раўнанне нармалі ў пункце мае выгляд: .

§17. Экстремум функцыі некалькіх зменных



Азначэнне 17.1.

Няхай функцыя f(x) вызначана на мностве . Пунктназываецца пунктам строгага максімума(строгага мінімума), калі існуе наваколле пункта , што для любога выконваецца няроўнасць .

Калі ж для пункта існуе наваколле ,што для любога выконваецца ўмова, што, то пункт называецца проста пунктам максімума (мінімума).

Азначэнне 17.2.

Пунктыпроста максімума(мінімума), строгага максімума (мінімума) называюцца пунктамі экстремума або строгага экстремума.

Тэарэма 17.1.

Няхай функцыя f(X), дзевызначаецца ў некаторым наваколлі пункта . Калі гэты пункт з’яўляецца пунктам экстремума функцыі f(X) і ў гэтым пункце існуе якая-небудзь частковая вытворная , тады ў пункце .

Доказ.

Няхай i=1.Калі пункт з’яўляецца пунктам экстремума для функцыі адной зменнай і таму, калі ў гэтым пункце існуе ытворная , тады згодна адпаведнай тэарэмы для функцыі адной зменнай .

Аналагічна для любой зменнай .

Вынік.

Калі функцыя дыферэнцавальная ў пункце экстремума,тады яе дыферэнцыялу гэтым пункце роўны нулю.

Доказ.

Калі функцыя f(x) дыферэнцавальная ў пункце экстремума .Тады ў гэтым пункце існуюць усе частковыя вытворныя. А згодна з тэарэмай 17.1.усе гэтыя вытворныя роўныя нулю,таму дыферэнцыял функцыі ў пункце.

Прыклад 17.1.

Разгледзім функцыю.Пункт экстремума знаходзіцца паміж тых пунктаў для якіх.Таму пункт (0,0)-пункт строгага мінімума.

Для функцыі . Калі , то ў пункце (0,0) экстрэмума няма, паколькі калі x=0, то z0.

Дастатковая ўмова экстрэмума



Азначэнне 17.3.

Квадратычная форма

называецца дадатна вызначанай (адмоўна вызначанай),калі

для любога.

Дадатна (адмоўна) вызначаная квадратычная форма называецца проста вызначанай або знакавызначальнай квадратычнай формай.

Прыклад 17.2.



--

дадатна вызначаная квадратычная форма.

Азначэнне 17.4.

Квадратычная форма , якая прымае як дадатныя так і адмоўныя значэнні называецца нявызначанай.

Прыклад 17.3.

-нявызначаная квадратычная форма,паколькі

,

калі

і , калі .

Няхай функцыя f(X) дыферэнцавальная ў пункце.Калі ,тады пунктназываецца стацыянарным пунктам. Відавочна,што пункт,у якім функцыя f(X) дыферэнцавальная,з’яўляецца стацыянарным,калі.

Тэарэма 17.2.(

Дастаткоаая ўмова экстрэмума). Няхай функцыя f(X) вызначана і мае непарыўныя вытворныя другога парадку ў некаторым наваколлі пункта .І няхай -стацыянарны пункт ,тады калі квадратычная форма (другі дыферэнцыял функцыі f(X) у пункце): (1)

дадатна (адмоўна) вызначаная квадратычная форма, тады пункт з’яўляецца пунктам строгага мінімума (максімума).Калі ж квадратычная форма нявызначаная , тады ў пункце экстрэмума няма.

  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.