.RU
Карта сайта

1.1. Технологическое множество и его свойства: Рассмотрим экономику с I благами. Для конкретной фирмы естественно

Рассмотрим экономику с I благами. Для конкретной фирмы естественно рассматривать часть из этих товаров как факторы производства и часть — как выпускаемую продукцию. Следует оговориться, что такое деление довольно условно, так как фирма обладает достаточной свободой в выборе ассортимента производимой продукции и структуры затрат. При описании технологии будем различить выпуск и затраты, представляя последние как выпуск со знаком минус. Для удобства представления технологии продукцию, которая и не затрачивается и не выпускается фирмой, будем относить к ее выпуску, причем объем производства этой продукции считаем равным 0. В принципе не исключена ситуация, в которой продукт производимый фирмой также потребляется ею в процессе производства. В этом случае мы будем рассматривать только чистый выпуск данного продукта, т.е. его выпуск минус затраты.

Пусть число факторов производства равно п, а число видов выпускаемой продукции равно т (отметим, что I = т + п). Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через же К", а объемы выпусков через jeK". Вектор (-ж, j) будем называть вектором ЧИСТЫХ выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков z = (-Л;, J) составляет теХНОЛОГИЧеСКОе МНОЖеСТВО Z. Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество — это подмножество К" хК".

Такое описание производства носит общий характер. При этом можно не придерживаться жесткого деления благ на продукты и факторы производства: одно и то же благо может при одной технологии затрачиваться, а при другой — производится. В этом случае Z с К'.

Опишем свойства технологических множеств, в терминах которых обычно дается описание конкретных классов технологий.

Непустота

Технологическое множество Z непусто.

Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной деятельности.

Замкнутость

Технологическое множество Z замкнуто.

Это свойство скорее техническое; оно означает, что технологическое множество содержит свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.

Свобода расходования:

если z е Z и Z < z, то Z е Z.

Это свойство можно интерпретировать как наличие возможности производить тот же самый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.

Отсутствие «рога изобилия» ("no free lunch")

zeZ и z ^ 0 ^ z = О

Это свойство означает что для производства продукции в положительном количестве необходимы затраты в ненулевом объеме.

Невозрастающая отдача от масштаба:

если z е Z и z = Я z, где 0<А<1, тогда z е Z.

Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач. 5'. Неубывающая отдача от масштаба:

если z е Z и z = Я z, где Я>1, тогда z е Z.

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.

Рисунок 1. Технологическое множество с возрастающей отдачей от масштаба.

5''. Постоянная отдача от масштаба — ситуация, когда технологической множества удовлетворяет условиям 5 и 5' одновременно, т.е. если z е Z и z = Я z , тогда z е Z УЯ>0.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Z является конусом (возможно, не содержащим 0) .

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная отдача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при изменении объема производства.

6. Выпуклость:

если z, z' е Z и 0<а< 1, то а z + (1-а) z' е Z.

Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.

Рисунок 2. Выпуклое технологическое множество с убывающей отдачей от масштаба.

Необратимость

z е Z и z Ф о ^ (- z) ? Z. Пусть из килограмма стали можно произвести 5 подшипников. Необратимость означает, что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм стали.

Аддитивность

z е Z и z е Z ^ z + z е Z. Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.

Допустимость бездеятельности:

О eZ.

Утверждение 1.

Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности следует выпуклость.

Из выпуклости и допустимости бездеятельности следует невозрастающая отдача от масштаба. (Обратное не всегда верно: при невозрастающей отдаче технология может быть невыпуклой (см. Рис. 3).)

Множество Z обладает свойствами аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно — выпуклый конус.

Доказательство:

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Рисунок 3. Невыпуклое технологическое множество с невозрастающей отдачей от масштаба.

При описании поведения производителя удобно представлять его производственное множество посредством некоторой производственной функции. Отметим, однако, что здесь и далее мы будем говорить только об «однопродуктовых» технологиях, т.е. т = 1.

Пусть X — проекция технологического множества Z на пространство векторов затрат, т.е.

X = {же К" | 3 уе К: (-ж, у)е Z J.

X Определение 1. Функция Д.): I называется производственной /

\ функцией, представляющей технологию Z, если при каждом хеХ число /Ц") яв- ^

^ ляется значением следующей задачи: /

\ у —У шах у ;

^ ч(-*»>0чеч z-x ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч

Утверждение 2.

Пусть для технологического множества Z с (-X) х К для любого жеХ множество

F(x) = {У 1 (-Ж У) е ZJ замкнуто и ограничено сверху. Тогда технологическое множество Z может быть представлено производственной функцией.

Доказательство:

Замкнутость и ограниченность сверху множества F(x) гарантируют, что существует f*x)еF(ж), такой что f(x) ^ у Vy е^(ж). ¦

Замечание. Выполнение условий данного утверждения можно гарантировать, например, если множество Z замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Утверждение 3.

Пусть множество Z замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого же X множество

f(x) = {у 1 (-ж у) е ZJ замкнуто и ограничено сверху.

Доказательство:

Замкнутость множеств F(x) непосредственно следует из замкнутости Z.

Покажем, что F(x) ограничены сверху. Пусть это не так и при некотором жеХ существует неограниченно возрастающая последовательность {уЛ/j, такая что уN е F(x). Тогда вследствие невозрастающей отдачи от масштаба (-ж/уДт, 1) е Z. Поэтому (вследствие замкнутости), (0, 1) е Z, что противоречит отсутствию рога изобилия.

Отметим также, что если технологическое множество Z удовлетворяет гипотезе свободного расходования и существует представляющая его производственная функция Д.), то , множество Z описывается следующим соотношением: Z = {(-ж, у)\у< X*), жеХ}.

Заметим, что если технологическое множество имеет вид

Z={(-xi, -х2, у)е К \у Этот пример показывает, что приведенные выше условия, гарантирующие существование производственной функции, не являются необходимыми.

Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множества и представляющей его производственной функции.

Утверждение 4.

Пусть технологическое множество Z представляется производственной функцией Д.). Тогда верно следующее

Если множество Z выпукло, то функция Д.) вогнута.

Если множество Z удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и

обратное, т.е. если функция Д.) вогнута, то множество Z выпукло.

Если Z выпукло, то Д.) непрерывна на внутренности множества X.

Если множество Z обладает свойством свободы расходования, то функция Д.) не

убывает.

Если Z обладает свойством отсутствия рога изобилия, то ДО) < 0.

Если множество Z обладает свойством допустимости бездеятельности, то ДО) ^

0.

Доказательство:

Пусть x1, x2 е X. Тогда (-x1, Дх^) е Z и (-x2, Дх2)) е Z, и (-ax1-(1-a)x2, a/(x1) + (1-a)y(x2)) е Z (0a/(x1) + (1-a)y(x2) Поскольку множество Z обладает свойством свободного расходования, то множество Z (с точностью до знака вектора затрат) совпадает с ее подграфиком. А подграфик вогнутой функции — выпуклое множество.

Доказываемый факт следует из того, что вогнутая функция непрерывна во внутренности ее области определения.

Пусть x2^x1 (x1, X2GR"). Поскольку (-x1, Дx1))e Z, то по свойству свободы расходования (-x2, Дx1))eZ. Отсюда, по определению производственной функции, y(x2)^/(x1), то есть Д.) неубывает.

Неравенство ДО) > 0 противоречит предположению об отсутствии рога изобилия. Значит, ДО) < 0.

(6) По предположению о допустимости бездеятельности (0, 0) е Z. Значит, по определению производственной функции, _Д0) ^ 0. ¦ 1) В предположении о существовании производственной функции свойства технологии можно описывать непосредственно в терминах этой функции. Покажем это на примере так называемой эластичности масштаба.

Пусть производственная функция дифференцируема. В точке ж, где _Дж)>0, определим локальную эластичность масштаба е(ж) как:

е(ж) dk fix)

d/fky) k

k= 1.

Если в некоторой точке е(ж) равен 1, то считают, что в этой точке "постоянная эластичность масштаба", если больше 1 — то "растущая эластичность", меньше — "убывающая". Вышеприведенное определение можно переписать в следующем виде:

^ dxi XI

е(ж)=-цжг.

Утверждение 5.

Пусть технологическое множество Z описывается производственной функцией Д.) и в точке ж выполнено_Дж)>0. Тогда верно следующее:

Если технологическое множество Z обладает свойством убывающей отдачи от масштаба, то е(ж) < 1.

Если технологическое множество Z обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба, то е(ж) ^ 1.

Если Z обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то е(ж)=1. Доказательство:

Рассмотрим последовательность {kn} (0¦ < Лж).

Мп ж) - ./(ж)

kn - 1

k = 1 ^ дх. Xi < /(ж).

Переходя к пределу, имеем df(kx) dk

Таким образом, е(ж) < 1.

и (3) доказываются аналогично.

Тесты и задачи для самостоятельного решения

1. Пусть множество производственных возможностей фирмы задается условием: Zi < ln(1 - z 2), где z2<1. Какими свойствами обладает данная технология?

Докажите Утверждение 1.

Технологические способы (-5,4), (-4,0) и (-2,2) принадлежат некоторому технологическому множеству Z. Можно ли гарантировать, что технологический способ (-3,2) принадлежит Z, если известно, что Z выпукло? Изобразите графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Z.

Технологические способы (-5,4), (-4,0) и (-2,2) принадлежат некоторому технологическому множеству Z. Можно ли гарантировать, что технологический способ (-2,1) принадлежит Z, если известно, что Z выпукло и характеризуется убывающей отдачей? Изобразите графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Z.

Технологические способы (-8,10), (-2,3) и (-4,2) принадлежат некоторому технологическому множеству Z. Можно ли гарантировать, что технологический способ (-5, 5) принадлежит Z, если известно, что Z характеризуется свободой расходования? Изобразите графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Z.

Пусть однопродуктовая технология может быть представлена производственной функцией. Показать, что производственное множество удовлетворяет свойству постоянной отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда соответствующая производственная функция однородна первой степени.

Показать в случае технологии, что если производственное множество Z замкнуто и выпукло и -Ml с Z, то оно обладает свойством свободы расходования.

2014-07-19 18:44

  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © sanaalar.ru
    Образовательные документы для студентов.